古人立一根杆子看影子，靠一根杆子就做出了历法。这件事听起来不可思议，但原理只有一条：太阳越高，影子越短，而且这个比例是严格的三角函数关系。 今天我们有天文算法和手机 App，但"立杆测影"仍然是理解太阳最直观的方式——它把一个天球上的角度，翻译成了地上可以拿尺子量出的长度。
🧭 一、高度角、方位角、天顶角三个坐标的含义
要描述太阳在天空中的位置，最少需要两个角。天文学上最常用的一套是高度角（Altitude）和方位角（Azimuth），它们把当地的地平线当作基准面。
📐 三个角，各管一件事
- 高度角（h）：太阳光线与地平面之间的夹角。太阳在地平线上是 0°，正当头顶是 90°。它决定光线有多"陡"、影子有多长、光穿过大气有多厚。
- 方位角（A）：从正北方向开始，顺时针量到太阳所在方向的角度。正东是 90°，正南是 180°，正西是 270°。它决定影子朝哪个方向偏。
- 天顶角（z）：太阳方向与头顶铅垂线之间的夹角。它和高度角互为余角：z + h = 90°。算日出日落和大气质量时，用天顶角往往比用高度角更方便。
还有三个和高度角直接相关、但含义不同的角度，很容易搞混：
太阳赤纬（δ）描述的是太阳在南北方向上的位置，等于太阳直射点的纬度。夏至时约为 +23.44°，冬至约为 -23.44°，春分秋分是 0°。观测者纬度（φ）是当地的地理纬度。时角（H）是从当地正午算起、太阳转过了多少度，每小时 15°。
这三个量和高度角之间有一条基本关系，下一节会用到：
sin(h) = sin(φ)·sin(δ) + cos(φ)·cos(δ)·cos(H)
看起来复杂，但它其实只是球面三角里的一行公式。真正好用的是它在正午的特例——那时候时角 H 等于 0，公式会塌缩成一行非常简洁的加减法。
📏 二、高度角与影子长度的三角函数关系
这是整篇文章最实用的一节。假设地面上立一根垂直于地面的杆子，高度为 H，影长为 L，太阳高度角为 h，那么：
tan(h) = H ÷ L 即 L = H ÷ tan(h)
这个式子说明了一件很直观的事：影长和物体高度成正比，与高度角的正切成反比。杆子越高，影子越长；太阳越低，影子也越长，而且是非线性的——高度角越小，影长的增长越剧烈。
影长等于物体高度
高度角 45° 时 tan(45°) = 1，影子长度刚好等于杆子高度。这是一个很好记的基准点——只要看到影子比物体本身长，太阳就低于 45°。
影长是高度的 1.73 倍
tan(30°) ≈ 0.577，影长约为物体高度的 1.73 倍。一根 2 米的杆子会投出接近 3.5 米的影子。
影长是高度的 3.73 倍
tan(15°) ≈ 0.268，影长拉到了高度的 3.73 倍。这是黄昏时分的典型情况，光线极弱，影子拖得极长。
影长只有高度的 0.58 倍
tan(60°) ≈ 1.732，影子明显短于物体。太阳高悬，光线接近垂直，几乎不留过渡阴影。
反过来用也成立：量出影子长度和物体高度，就能算出太阳高度角：
h = arctan(H ÷ L)
这根杆子的思路，就是日晷的工作原理。一根晷针投下影子，影子的方向和长度随太阳移动而变化，人只需要读影子的位置就知道大概几点。想直观看看这种影子随太阳转动的过程，可以用 在线日晷模拟器 拖动时间轴，影子会跟着太阳一起走。
🧮 三、正午太阳高度角的计算公式与推导
一天当中太阳最高的时刻是正午，此时时角 H = 0。把 H = 0 代入上一节的公式：
cos(H) = cos(0) = 1
于是 sin(h) = sin(φ)·sin(δ) + cos(φ)·cos(δ)。右边正是两角差的余弦公式展开式，可以收成：
sin(h) = cos(φ - δ)
而 cos(φ - δ) 等于 sin(90° - |φ - δ|)，所以：
h₀ = 90° - |φ - δ|
这就是正午太阳高度角的标准公式。它是整篇文章最值得记住的一行。含义非常直白：正午太阳高度角等于 90° 减去观测点纬度与太阳赤纬之差的绝对值。
下面用两个例子验证一下。北京纬度约 39.9°N，夏至日太阳赤纬 +23.44°，代入得 h₀ = 90° - |39.9° - 23.44°| = 90° - 16.46° ≈ 73.5°。冬至日赤纬 -23.44°，h₀ = 90° - |39.9° + 23.44°| = 90° - 63.34° ≈ 26.7°。夏冬两季差出将近 47°，这正是影子长短差别如此悬殊的原因。
如果算出来 h₀ 是负数，说明正午太阳也在地平线以下——那是极夜。如果 h₀ 超过 90°，说明太阳越过了天顶，正午实际高度是 180° 减去这个值。这两种情况分别出现在高纬度地区的冬季和热带地区。
⚠️ 两个使用前提
- 用的是“真太阳时”的正午：也就是太阳正好在当地子午线上的时刻，不是钟表上的 12:00。两者常有一小时甚至更长的偏差，取决于时区和夏令时。
- 赤纬在一年里连续变化：从 -23.44° 到 +23.44° 再回来，一年走一圈。所以同一天的正午高度角，南北半球会差出很大一截。
🌍 四、不同纬度、不同季节的正午高度角差异
正午高度角公式里，纬度 φ 和赤纬 δ 是两个独立的变量。纬度决定你在哪儿，赤纬决定太阳在南北方向的哪个位置。两者相减，差值越小，太阳越高。
📊 几个典型纬度的正午高度角
- 赤道（0°）：春分和秋分时太阳正过头顶，h₀ = 90°；夏至和冬至时太阳偏向南北各 23.44°，h₀ 降到 66.6°。全年高度角都很高。
- 北回归线（23.44°N）：夏至日太阳正好在天顶，h₀ = 90°。这是太阳唯一一次能直射到这里的日子。冬季正午则降到 43° 左右。
- 北京（约 39.9°N）：夏至 73.5°，冬至 26.7°，差出将近 47°。四季分明，影子长度也随之大幅摆动。
- 北极圈（约 66.56°N）：夏至当天太阳整夜不落，午夜高度角刚好为 0°；冬至则整天不升，正午高度角为负值，进入极夜。
从这几个例子能看出一条规律：纬度越高，正午高度角的季节摆幅越大。赤道附近全年太阳都在头顶附近晃，高度角变来变去也就二十几度；而到了高纬度，夏至冬至可以差出四十多度甚至更多。
这也解释了为什么北欧的夏天那么亮、冬天那么暗——不是日照时间单方面变短，而是太阳即使在正午也只能爬到很低的位置，光线要穿过厚厚的大气，既弱又偏黄。反过来，赤道地区的正午阳光几乎垂直落下，穿过的大气最少，这也是热带阳光那么"硬"的原因。
顺带说，高度角还决定了太阳什么时候升起、什么时候落下。太阳升到 0° 时的高度角就是日出日落的临界点，公式 sin(h) = 0 结合时角可以解出白昼长度。想查某个地点具体的日出日落时刻，用 日出时间查询 和 日落时间查询 直接按坐标就能得到，不需要自己解方程。
🔄 五、用高度角反推时间与季节
前面的内容都是从时间和地点推高度角，现在反过来：如果知道高度角，能不能推出现在几点、是什么季节？答案是能，但要满足一定条件。
反推时间用的一般是高度角与时角的关系。知道当地的纬度 φ 和太阳赤纬 δ，测出某一时刻的太阳高度角 h，代入基本公式反解 cos(H)，就得到了时角：
cos(H) = [sin(h) - sin(φ)·sin(δ)] ÷ [cos(φ)·cos(δ)]
时角每 15° 对应一小时，正午时角为 0，上午为负、下午为正。有了时角再加上当地经度的修正，就能换算出钟表时间。这个方法的精度相当高，古代航海定位用的就是它的近亲——六分仪测高度角，再结合已知纬度定经度。
反推季节的思路稍有不同。如果在同一个地点、同一时刻（比如每天正午）连续测高度角，会得到一条平滑起伏的曲线：夏至附近最高，冬至附近最低。曲线的相位告诉你现在是四季中的哪一段，曲线的峰值和谷值之差则可以用来校验纬度。
🧭 一根杆子能干的三件事
- 定正午：影子最短的那一刻就是当地正午，据此可以校准日晷。
- 定纬度：在春分或秋分那天，太阳赤纬为 0，正午高度角 h₀ 与纬度满足 h₀ = 90° - φ，量出高度角直接反算出纬度。
- 定节气：连续记录正午影长，影长最短的那天是夏至，最长的是冬至，长度居中的两次是春分和秋分。这就是"立杆测影"最古老也最本质的用法。
实际使用时有几点要注意。第一，必须知道自己所在位置的准确经纬度，纬度的误差会直接传导到高度角上。第二，真太阳时和钟表时间不是一回事，前者以太阳过子午线为正午，后者还要叠加时区、经度差和夏令时修正。第三，大气折射会让太阳看起来比实际位置略高，在地平线附近可以差出半度左右，精确计算时需要考虑。
🌞 六、把太阳的位置变成一个可以量的数
高度角、方位角、天顶角，这三个角把太阳在天空中的位置完整地描述了出来。而其中高度角最实用，因为它和影子长度之间只隔着一个正切函数——你不需要任何仪器，只要一根杆子和一把卷尺，就能量出太阳的高度。
下次看到地上拉得长长的影子，可以试着在心里估一下：这根杆子如果高 1.5 米，影子看起来有 2.5 米，那高度角就是 arctan(1.5 ÷ 2.5) ≈ 31°，太阳已经不低了，但还远没有到正午。